多元方程的求解
Claire0918
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2024-01-11 23:32:31
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学习·文化课
我们设 \{p_i\} 和 q 是形如 \sum_{i = 1}^{n} a_ix_i = b 的一条等式。
我们称通过 \{p_i\} 能推得 q，或者 \{p_i\} 蕴含 q 是指可以通过 p_i 间的有限次加法和 p_i 与 k \in \mathbb{R} 的乘法得到 q。
反之，我们称通过 \{p_i\} 与 q 矛盾是指可以通过 p_i 间的有限次加法和 p_i 与 k \in \mathbb{R} 的乘法得到 \neg q。
现设有 n 元一次方程
\begin{cases}
\sum_{i = 1}^{n} a_{1, i}x_i = b_1\\
\sum_{i = 1}^{n} a_{2, i}x_i = b_2\\
\ldots\\
\sum_{i = 1}^{n} a_{n, i}x_i = b_n\\
\end{cases}
其中 a_{i, j} 和 b_i 是实常数。
我们可以将该方程抽象为矩阵
\begin{bmatrix}
a_{1, 1} & a_{1, 2} & \ldots & a_{1, n} & b_1\\
a_{2, 1} & a_{2, 2} & \ldots & a_{2, n} & b_2\\
\ldots\\
a_{n, 1} & a_{n, 2} & \ldots & a_{n, n} & b_n\\
\end{bmatrix}
由公理得，我们现在有三种不会改变该方程组解的情况的操作：
交换矩阵两行的所有元素。
将矩阵某一行的所有元素乘 k \in \mathbb{R}。
将矩阵一行的元素与另一行的对应元素相加。
不难看出，如果该方程组有唯一解，则可将矩阵化为一种特别形式，使得存在 \{p_{i, j}\} 使得 \forall(i, j \in [1, n] \cap \mathbb{Z}, i < j)(p_i \subset p_j) 且 (\forall i, j \in [1, n] \cap \mathbb{Z})(a_{i, j} \neq 0 \Longleftrightarrow j \in p_i) 且 (\forall i \in [1, n] \cap \mathbb{Z})(|p_i| = i)。也就是说，其满足以下条件：
有一个未知数可以直接求得其值。
从第二行开始，可以通过引用前面已经求得的未知数的值来求得一个暂未求得值的未知数的值。
根据我们解方程的经验，欲达到此种情况，需要进行消元。形式化地，我们需要
选定一个未知数和一个该未知数系数不为 0 的方程，称为基准。
对其余方程进行操作二，使得该未知数对应的系数为基准中的系数的相反数，并与基准进行操作三。
将基准暂时弃用，直到矩阵变形结束。
此时，除基准外，所有方程该未知数对应的系数都为 0。
如果以上操作可以正常地进行 n - 1 次，则可以求得该方程组的唯一解。
但是，如果到某一次操作前，无法找到基准，即每一个可用的方程任意系数都为 0。此时，要分两种情况。
如果对应的任意 b_i = 0 那么唯一性就被打破，方程有无数组解。当存在等式可以被其他等式推出时，会出现此种情况。
否则，与公理矛盾，方程无解。当存在等式与其他等式矛盾时，会出现此种情况。
综上，我们得到以下结论。
当存在等式与其他等式矛盾时，方程无解。
当存在等式可以被其他等式推出时，方程有无数组解。
否则，方程有唯一一组解。
\square